Задачи и олимпиады по математике

Задача

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что PQ ⊥ AC.

Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Решение

Выберем на прямой QP такую точку T, что DT ⊥ DA (см. рис.). Заметим, что точки P и D лежат на окружности с диаметром AT. Значит, центр окружности ω₁ лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку DT.

Так как ∠QBD= ∠СBD= ∠СAD= ∠PAD= ∠PTD= ∠QTD, то точкиB, Q, DиTлежат на одной окружности. Поэтому центр окружности ω₂также лежит на серединном перпендикуляреlк отрезкуDT. Таким образом, прямаяlпроходит через центры ω₁и ω₂. Поскольку l⊥DT и AD⊥DT, то l || AD, что и требовалось.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления