Олимпиадные задачи из источника «2015-2016» - сложность 4 с решениями

В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  <i>x ± y ± z = n</i>  (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (<i>x</i>₀, <i>y</i>₀, <i>z</i>₀)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка  (<i>kx</i>₀, <i>ky</i>₀, <i>kz</i>₀)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, в котором  <i>AC < BC; M</i> – середина стороны <i>AB</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая <i>CM</i> пересекает прямые <i>AC'</i> и <i>BC'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Перпендикуляр к прямой <i>AC'</i>, проведённый через точку <i>K</i>, перпендикуляр к прямой <i>BC'</i>, проведённый через точку <i>L</i>, и прямая <i>AB</i> образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.