Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»
Окружность проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Отрезки <i>CD</i> и <i>BE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники <i>ADE</i> и <i>ODE</i>. Докажите, что середина меньшей дуги <i>DE</i> лежат на прямой <i>MN</i>.
В классе учится 15 мальчиков и 15 девочек. В день 8 Марта некоторые мальчики позвонили некоторым девочкам и поздравили их с праздником (никакой мальчик не звонил одной и той же девочке дважды). Оказалось, что детей можно единственным образом разбить на 15 пар так, чтобы в каждой паре оказались мальчик с девочкой, которой он звонил. Какое наибольшее число звонков могло быть сделано?
Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) выбрана точка <i>M</i> таким образом, что ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>. На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что
∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>. Докажите, что <i>BK = KM + MC</i>.
В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif"> Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.
Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?
На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?
Существуют ли такие простые числа <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, ..., <i>p</i><sub>2007</sub>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_2.gif"> делится на <i>p</i><sub>2</sub>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_3.gif"> делится на <i>p</i><sub>3</sub>, ..., <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_4.gif"> делится на <i>p</i><sub>1</sub>?
Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.
Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.
На стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана произвольная точка<i> D </i>. В треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>вписаны окружности с центрами<i> K </i>и<i> L </i>соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников<i> BKD </i>и<i> CLD </i>вторично пересекаются на фиксированной окружности.
У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.
25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.
Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена <i>f</i><sub>1</sub>, ..., <i>f</i><sub>1004</sub>, среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения <i>f<sub>i</sub> = f<sub>j</sub></i> (<i>i ≠ j</i>), и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?
В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?
Дано натуральное число <i>n</i> > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (<i>n</i>(<i>n</i> – 1), <i>n</i>²) и взаимно простые с <i>n</i>(<i>n</i> – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.
Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.
При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?
Для вещественных <i>x > y</i> > 0 и натуральных <i>n > k</i> докажите неравенство (<i>x<sup>k</sup> – y<sup>k</sup></i>)<sup><i>n</i></sup> < (<i>x<sup>n</sup> – y<sup>n</sup></i>)<sup><i>k</i></sup>.
В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i> (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25) в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно <i>k</i> + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.
Для положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">
Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в<i> м<sup>3</sup> </i>) численно равен площади его поверхности (измеренной в<i> м<sup>2</sup> </i>). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?
На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?
При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие целые <i>a, b, c</i>, что их сумма равна нулю, а число <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup> + c<sup>n</sup></i> – простое?