Олимпиадные задачи из источника «8 Класс»

В классе учится 15 мальчиков и 15 девочек. В день 8 Марта некоторые мальчики позвонили некоторым девочкам и поздравили их с праздником (никакой мальчик не звонил одной и той же девочке дважды). Оказалось, что детей можно единственным образом разбить на 15 пар так, чтобы в каждой паре оказались мальчик с девочкой, которой он звонил. Какое наибольшее число звонков могло быть сделано?

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  выбрана точка <i>M</i> таким образом, что  ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>.  На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что

∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>.  Докажите, что  <i>BK = KM + MC</i>.

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Существуют ли такие простые числа <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, ..., <i>p</i>₂₀₀₇, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_2.gif">  делится на <i>p</i>₂,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_3.gif">  делится на <i>p</i>₃, ...,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_4.gif">  делится на <i>p</i>₁?

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.