Задание олимпиады: разности цифр – минимальное число, 7-9 класс, Мурашкин М. В.

Олимпиадная задача по математике: Найти число по разностям цифр (7-9 класс, Мурашкин М. В.)

Задача

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

Решение

Ответ: 11138. Действительно, число 11138 могло быть задумано:2=3-1,0=1-1,7=8-1.

Предположим, что задумано число N<11138. Поскольку выписаны разности 2 и 7, то различных цифр в числе N не менее трех. Так как выписаны два нуля, то среди цифр найдутся либо три одинаковых, либо две пары равных. Так как N<11138, то в числе N ровно пять цифр, среди которых ровно три различные цифры, и первая цифра равна 1. Если в записи N встречаются 0, 1 и a>1, то среди разностей цифр встречаются лишь числа0,1, a , a-1, что невозможно. Иначе в записи N нет нулей, и N= , где b=2или b=3(т.к. N<11138). Тогда c 1+7=8, откуда b 3. Но если b=2, то среди разностей цифр встречаются лишь числа0,1, c-1, c-2. Противоречие.