Олимпиадная задача по принципу Дирихле: шарики в 25 коробках, 8-10 класс
Задача
В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.
Решение
Обозначим коробки B1, ..., B25. По условию общее число цветов равно 26. Если рассмотреть все коробки, кроме Bi, то общее число цветов в них равно 25. Следовательно, есть цвет, присутствующий только в коробке Bi; назовем его Ci. Поскольку общее число цветов – 26, остался ровно один цвет C, отличный от всех Ci. Если в какой-то коробке Bk нет шариков этого цвета, то в ней есть только шарики цвета Bk, что противоречит условию (в Bk должны быть шарики двух цветов). Значит, шарики цвета C есть во всех коробках.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь