Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов от Агахановa Н. Х.: площадь нового треугольника

Пусть a₁ b₁ c , a₂ b₂ c – длины сторон данных треугольников, α – их общий наименьший угол, α₁ – наименьший угол в построенном треугольнике со сторонами a₁ + a₂ , b₁ + b₂ , c + c . В этом треугольнике a₁ + a₂ – наименьшая сторона, поэтому угол α₁ лежит против нее и является острым. Рассмотрим треугольник AML с углом α при вершине A и боковыми сторонами AM = b₁ + b₂ , AL = c + c (рисунок). Покажем, что α₁α ; для этого достаточно доказать, что ML a₁+a₂ . Пусть B и C – точки на сторонах AL и AM соответственно такие, что AC = b₁ , AB=c . Выберем точку K так, что BCKL – параллелограмм. Тогда треугольники ABC и CKM соответственно равны исходным треугольикам, поэтому из треугольника MKL получаем MK = a₂ , KL = a₁ , откуда по неравенству треугольника ML a₁ + a₂ , что и требовалось. Отсюда S = ( b₁ + b₂)(c + c) sin α₁ (b₁ + b₂)c sin α 2(b₁ c sin α + b₂ c sin α) = 2(S₁ + S₂), что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует