Олимпиадная задача по теории чисел о кубах и арифметической прогрессии (8–10 класс)

  Лемма. Если для некоторого натурального n число n³ является точным квадратом, то число n также является точным квадратом.

  Доказательство. Пусть простое число p входит в разложение числа n на простые множители в степени t, тогда p входит в разложение числа n³ в степени 3t. По условию 3t чётно, поэтому t чётно. В силу произвольности p получаем, что n – точный квадрат.   Пусть в прогрессии с разностью  d > 0  содержится куб натурального числа m. Если m³ не является точным квадратом, то искомое число найдено. Иначе m³ – точный квадрат и согласно лемме m – точный квадрат,  m = k².  Вместе с m³ прогрессия содержит точный куб  A = (m + md²)³,  поскольку

A = m³ + ld,  где l – натуральное. Докажем, что A не является точным квадратом.

  Пусть это не так, тогда по лемме  m + md² = k²(1 + d²)  – точный квадрат. Отсюда  1 + d²  – точный квадрат,  1 + d² = x².  Следовательно,

1 = (x – d)(x + d),  что невозможно.

Ответ задачи отсутствует