Олимпиадная задача: хороший тетраэдр внутри хорошего параллелепипеда (стереометрия, 10–11 классы)
Задача
Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м3 ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м2 ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?
Решение
Нельзя.
Предположим, что хороший тетраэдр объема V с площадью поверхности S помещен внутри хорошего параллелепипеда объема V' ,
площади граней которого равны S1 , S2 , S3 ( S1
S2 S3 ),
На соответствующие высоты равны h1 , h2 , h3 .
По условию V=S и V'=2(S1+S2+S3).
Впишем в тетраэдр сферу σ радиуса r . Так как V=
Sr , то r=3.
Сфера σ лежит между парой параллельных плоскостей, содержащих грани параллелепипеда,
поэтому h1> 2r=6.
Отсюда
V'=S1h1> 6S1 2(S1+S2+S3) = V'.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь