Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8–11 классов: максимальное число разноцветных точек

Два возможных примера из шести точек показаны на рисунке (существуют и другие примеры). Предположим, что точек хотя бы 7; тогда найдутся три точки одного цвета. Согласно условию, они не лежат на одной прямой, поэтому они образуют треугольник.

Рассмотрим треугольник ABC наименьшей площади, у которого все три вершины одноцветны (пусть они синие; см. рис.). Тогда внутри него нет синих точек. На каждой из его сторон BC , AC , AB есть по точке другого цвета (обозначим их A₁ , B₁ , C₁ соответственно). Если все они одноцветны, то образовался одноцветный треугольник меньшей площади, что невозможно. Поэтому можно без ограничения общности считать, что A₁ и C₁ – желтые, а B₁ – зеленая.

Далее, на отрезке A₁C₁ есть нежелтая точка B₂ . По замеченному выше она не может быть синей – значит, она зеленая. Тогда на отрезке B₁B₂ есть незеленая точка X . Она также не синяя – значит, она желтая. Но тогда треугольник A₁C₁X имеет желтые вершины и площадь, меньшую площади ABC – противоречие.