Олимпиадные задачи из источника «2001-2002» - сложность 3 с решениями
2001-2002
НазадПо шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой <i>d</i>, где <i>d</i> – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
На плоскости расположено[<i><img src="/storage/problem-media/110102/problem_110102_img_2.gif"> n</i>]прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с<i> n </i>прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и <i>n</i> – 1 > 0 целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, 2002], взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на <i>n</i> равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Набор чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub>= 0, 0 ≤<i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub>–<i>a<sub>k</sub></i>≤ 1 при <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше <i>m</i>² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся <i>m</i> + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
На отрезке [0, <i>N</i>] отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, <i>N</i>], целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки <i>A</i> и <i>B</i>, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок <i>AB</i> на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек <i>A, B</i>. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка [0, <i>N</i>]?
Набор чисел <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub> ≥ <i>a</i><sub><i>k</i></sub> + 1 при <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">
Высота четырехугольной пирамиды<i> SABCD </i>проходит через точку пересечения диагоналей ее основания<i> ABCD </i>. Из вершин основания опущены перпендикуляры<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1на прямые<i> SC </i>,<i> SD </i>,<i> SA </i>и<i> SB </i>соответственно. Оказалось, что точки<i> S </i>,<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1,<i> D</i>1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1проходят через одну точку.
Действительные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что для любых различных простых нечётных <i>p</i> и <i>q</i> число <i>x<sup>p</sup> + y<sup>q</sup> </i> рационально.
Докажите, что <i>x</i> и <i>y</i> – рациональные числа.
Из промежутка (2<sup>2<i>n</i></sup>, 2<sup>3<i>n</i></sup>) выбрано 2<sup>2<i>n</i>–1</sup> + 1 нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.
Пусть точка<i> A' </i>лежит на одной из сторон трапеции<i> ABCD </i>, причём прямая<i> AA' </i>делит площадь трапеции пополам. Точки<i> B' </i>,<i> C' </i>и<i> D' </i>определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>симметричны относительно середины средней линии трапеции<i> ABCD </i>.
В равнобедренном треугольнике<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>) точка<i> O </i>– центр описанной окружности. Точка<i> M </i>лежит на отрезке<i> BO </i>, точка<i> M' </i>симметрична<i> M </i>оносительно середины<i> AB </i>. Точка<i> K </i>– точка пересечения<i> M'O </i>и<i> AB </i>. Точка<i> L </i>на стороне<i> BC </i>такова, что<i> <img src="/storage/problem-media/108215/problem_108215_img_2.gif"> CLO = <img src="/storage/problem-media/108215/problem_108215_img_2.gif"> BLM </i>. Докажите, что точки<i> O </i>,<i> K </i>,<i> B </i>,<i> L </i>ле...