Назад

Олимпиадная задача по теории чисел от Агаханова Н. Х. для 10-11 класса

Задача 210085 • Сложность: 3 • 10-11 класс
Задача

Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число  xp + yq   рационально.

Докажите, что x и y – рациональные числа.

Авторы:
Агаханов Н. Х.
Разделы:
Теория чисел. Делимость Действительные числа
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2001-2002 Региональный этап
Количество версий:
3
Решение

Из рациональности  xp + yq,  xr + yq,  xs + yq следует рациональность чисел  xr – xp,  xs – xr.  Возьмём  p = 3,  r = 5,  s = 7.  Тогда  a = x7 – x5  и  b = x5 – x3 рациональны. Если  b = 0,  то  x = 0  или  x = ±1,  то есть x рационально. Если же  b ≠ 0,  то  x² = a/b  рационально. Но тогда из равенства  b = x²(x² – 1)x  следует рациональность x. Аналогично y – рациональное число.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет