Олимпиадная задача по теории чисел: делимость квадратов, задание 8–10 класса

Заметим, что среди выбранных чисел найдутся числа a и b, имеющие одинаковые остатки от деления на 2²ⁿ. Докажем, что они – искомые. Предположим, что a² делится на b. Тогда на b делится и  (a – b)² = a² – 2ab + b².  Пусть  a = p·2²ⁿ + r,  b = q·2²ⁿ + r.  Тогда  (p – q)²·2⁴ⁿ  делится на b, но поскольку b нечётно, то  (p – q)²  делится на b, откуда  |p – q| > 2ⁿ  и  max {a, b} = max {p, q}·2²ⁿ + r > 2³ⁿ,  что невозможно.

Ответ задачи отсутствует