Олимпиадная задача по математике Токарева: минимальное число для суммы 2002 и 2003 слагаемых, одинаковая сумма цифр

  Пусть для натурального числа n имеют место указанные представления:  n = a₁ + ... + a₂₀₀₂ = b₁ + ... + b₂₀₀₃.

  Воспользуемся тем, что каждое из чисел a₁, a₂₀₀₂ даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма цифр; обозначим этот остаток через r  (0 ≤ r ≤ 8),  а соответствующий остаток для чисел b₁, ..., b₂₀₀₃ – через s  (0 ≤ s ≤ 8).  Тогда числа  n – 2002r  и  n – 2003s  кратны 9, а значит, и число

(n – 2002r) – (n – 2003s) = 2003s – 2002r = 2003(r + s) – 4005r  кратно 9. Число 4005r также кратно 9, а число 2003 – взаимно просто с 9; отсюда следует, что число  r + s  кратно 9. Если при этом  r = s = 0,  то  n ≥ 9·2003  (поскольку b₁, ..., b₂₀₀₃ делятся на 9). Если же  r ≠ 0,  то  r + s = 9,  и потому  r ≥ 5  или  s ≥ 5  для числа n получаются неравенства  n ≥ 5·2002  или  n ≥ 5·2003  соответственно. А так как  10010 = 5·2002 = 4·2002 + 2002·1,  и числа 4 и 2002 имеют одинаковую сумму цифр, то число 10010 – искомое.