Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов: доказательство о перпендикулярности прямых в треугольнике (Берлов С. Л.)

  Поскольку MK – биссектриса внешнего угла при вершине M равнобедренного треугольника AMC, то  MK || AC.  Пусть продолжение отрезка MK за точку M пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K₁. Дуги AK и CK₁, заключённые между параллельными хордами KK₁ и AC, равны. Поэтому  ∠KBM = ∠KBC = ∠AKK₁ = ∠AKM.

  Значит, треугольникиMAKиMKBподобны по двум углам. Если  ∠BMK= ∠KMA= α,  то треугольникMAKпереходит в треугольникMKBпри композиции поворота вокруг точкиMна уголαи гомотетии с центромM(поворотной гомотетии с центромMи углом α). При этом центрO₁вписанной окружности треугольникаMAKпереходит в центрO₂вписанной окружности треугольникаMKB. Поскольку  MO₁:MO₂=MK:MB  и ∠O₁MO₂= ∠O₁MK+ ∠O₂MK=^α/₂+^α/₂= α = ∠KMB,  то треугольникO₁MO₂подобен треугольникуKMBи переходит в него при композиции поворота на угол^α/₂вокруг точкиMи гомотетии с центромM. Следовательно, угол между прямымиO₁O₂иKBтакже равен^α/₂. Аналогично, угол между прямымиO₁O₂иKAравен^α/₂. Если прямаяO₁O₂пересекает прямыеKBиKAв точкахPиQ, то треугольникPKQ– равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершиныK, является высотой, а значит, перпендикулярна прямойO₁O₂.

Ответ задачи отсутствует