Олимпиадные задачи из источника «1994-1995» - сложность 1-3 с решениями

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.). <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/109877/problem_109877_img_2.gif"> </div>Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

Найдите все такие простые числа <i>p</i>, что число  <i>p</i>² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).

Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

Докажите, что для любых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109871/problem_109871_img_2.gif">

<i>N</i>³ единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (то есть вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких <i>N</i> такое ожерелье из кубиков можно упаковать в кубическую коробку с ребром длины <i>N</i>?

Рассматриваются такие квадратичные функции  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  что  <i>a < b</i>  и  <i>f</i>(<i>x</i>) ≥ 0  для всех <i>x</i>.

Какое наименьшее значение может принимать выражение  ^<i>a+b+c</i>/_<i>b–a</i> ?

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что  НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>.  Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.

Числовая последовательность<i> a₀ </i>,<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>, такова, что при всех неотрицательных<i> m </i>и<i> n </i>(<i> m<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_2.gif"> n </i>) выполняется соотношение <center><i>

a_m+n+a_m-n=<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_3.gif"></i>(<i>a</i>2<i>m+a</i>2<i>n</i>)<i>.

</i></center> Найдите<i> a</i>1995, если<i> a₁=</i>1.

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

Назовём натуральные числа <i>похожими</i>, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3&times3 была одна и та же?

Хорда <i>CD</i> окружности с центром <i>O</i> перпендикулярна ее диаметру <i>AB</i>, а хорда <i>AE</i> делит пополам радиус <i>OC</i>.

Докажите, что хорда <i>DE</i> делит пополам хорду <i>BC</i>.

Товарный поезд, отправившись из Москвы в <i>x</i> часов <i>y</i> минут, прибыл в Саратов в <i>y</i> часов <i>z</i> минут. Время в пути составило <i>z</i> часов <i>x</i> минут.

Найдите все возможные значения <i>x</i>.

Последовательность натуральных чисел <i>a_i</i> такова, что  НОД(<i>a_i, a_j</i>) = НОД(<i>i, j</i>)  для всех  <i>i ≠ j</i>.  Докажите, что  <i>a_i = i</i>  для всех  <i>i</i> ∈ <b>N</b>.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

На карусели с <i>n</i> сиденьями мальчик катался <i>n</i> сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких <i>n</i> за <i>n</i> сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех <i>n</i> – 1  переходов различны и меньше <i>n</i>?

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на высоте <i>BK</i> как на диаметре построена окружность <i>S</i>, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. К окружности <i>S</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника <i>ABC</i>, проведённую из вершины <i>B</i>.

Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Окружность, проходящая через точки<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> A </i>, вторично пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> D </i>, окружность<i> S</i>2– в точке<i> E </i>, а прямую<i> AB </i>– в точке<i> C </i>. Докажите, что<i> CD=CB=CE </i>.