Олимпиадная задача: Представление функции как суммы двух симметричных графиков

Пусть  f(x) – данная функция. Покажем, как её можно представить в виде суммы функции  f₁(x), график которой симметричен относительно прямой  x = 0  и функции  f₂(x), график которой симметричен относительно прямой  x = a,  a > 0.  Значения функций  f₁ и  f₂ определим на отрезке  [–a, a],  затем последовательно на отрезках  [a, 3a],  [– 3a, – a],  [3a, 5a]  и т.д.

  На  [– a, a]  положим  f₁(x) = 0  (можно взять и любую чётную на  [– a, a]  функцию, обращающуюся в нуль на концах этого отрезка), а

f₂(x) = f(x) – f₁(x) = f(x).  На отрезке  [a, 3a]  определим функцию  f₂(x) так, чтобы на  [– a, 3a]  её график был симметричен относительно прямой  x = a,  то есть  f₂(x) = f₂(2a – x).  Такое определение функции  f₂(x) корректно, так как если   x ∈ [a, 3a],  то  2a – x ∈ [– a, a].  Функцию  f₁(x) на отрезке  [a, 3a]  определим равенством  f₁(x) = f(x) – f₂(x).  На отрезке  [– 3a, – a]  положим  f₁(x) = f₁(– x),  а  f₂(x) = f(x) – f₁(x),  на отрезке  [3a, 5a]  –   f₂(x) = f₂(2a – x),  а  f₁(x) = f(x) – f₂(x),  и т.д.

  На рисунке приведён пример такого представления для функции  f(x) =x:     на  [–a, a]  f₁(x) = 0, f₂(x) =x;     на  [a, 3a]  f₂(x) = 2a – x, f₁(x) = 2(x – a);     на  [– 3a, – a]  f₁(x) = – 2(x – a), f₂(x) = 3x+ 2a;     на  [3a, 5a]  f₂(x) = 8a– 3x,  f₁(x) = 4x– 8a;  и т.д.

Ответ задачи отсутствует