Олимпиадная задача по теории чисел для 8-10 класса от Голованова А.С.

Олимпиадная задача по теории чисел: Докажите равенство в последовательности, 8-10 класс

Задача

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j) для всех i ≠ j. Докажите, что a_i = i для всех i ∈ N.

Решение

Так как каждое a_i делится на НОД(a_i, a_2i) = НОД(i, 2i) = i, то a_i ≥ i для всех i ∈ N.

Предположим, что a_i > i при некотором i. Тогда, с одной стороны, НОД(a_i, a_{a_i}) = НОД(i, a_i) = i, а с другой стороны, поскольку a_{a_i} делится на a_i, то НОД(a_i, a_{a_i}) = a_i > i. Противоречие.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться

Комментариев нет

Олимпиадная задача по теории чисел: Докажите равенство в последовательности, 8-10 класс

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления