Олимпиадная задача по теории чисел: делимость и НОК, 8–10 класс

Решение 1:Положим  m = kd,  n = ld,  где  d = НОД(m, n).  Тогда  НОК(m, n) = kld  и, значит,  kld + d = kd + ld.  Отсюда  (k – 1)(l – 1) = 0,  то есть  k = 1  или  l = 1.  В первом случае  m = d,  и n делится на m; во втором случае – наоборот.

Решение 2:Поскольку  НОК(m, n)·НОД(m, n) = ab,  пары  (m, n)  и  (НОД(m, n), НОК(m, n))  являются парами решений квадратного уравнения  x² – (m + n)x + mn = 0,  то есть совпадают. Утверждение задачи теперь следует из того, что НОК(m, n) кратно НОД(m, n).

Ответ задачи отсутствует