Олимпиадная задача по математике: числовая последовательность и индукция (Мусин О.)
Задача
Числовая последовательность a0 , a1 , a2 , такова, что при всех неотрицательных m и n ( m
n ) выполняется соотношение
am+n+am-n=
(a2m+a2n).
Решение
19952 .
Полагая m=n , находим a0=0. Полагая n=0, получим am+am=(a2m+a0).
Отсюда
Пусть m=n+2. Тогда a2n+2+a2=(a2n+4+a2n), и так как в силу 1 a2n+4=4an+2и a2n=4an , то окончательно получаем:
С другой стороны, в силу 1 и условия a1=1, имеем:
Сравнивая 2 и 3, заключаем, что последовательность(an)удовлетворяет
рекуррентному соотношению
an+2=2an+1-an+2
Вычислив несколько первых членов последовательности: a2=4, a3=9, a4=16, приходим к
предположению, что при всех n0 an=n2 . Доказательство проведем по индукции.
При n=0и n=1утверждение верно. Пусть оно верно при n=k-1и n=k ( k1). Тогда
ak+1=2ak-ak-1+2= 2k2-(k-1)2+2=(k+1)2,
Следовательно, a1995=19952 .
Ответ
19952 .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь