Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»
В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?
Назовём натуральные числа <i>похожими</i>, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3×3 была одна и та же?
Известно, что <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Хорда <i>CD</i> окружности с центром <i>O</i> перпендикулярна ее диаметру <i>AB</i>, а хорда <i>AE</i> делит пополам радиус <i>OC</i>.
Докажите, что хорда <i>DE</i> делит пополам хорду <i>BC</i>.
Товарный поезд, отправившись из Москвы в <i>x</i> часов <i>y</i> минут, прибыл в Саратов в <i>y</i> часов <i>z</i> минут. Время в пути составило <i>z</i> часов <i>x</i> минут.
Найдите все возможные значения <i>x</i>.
Даны непостоянные многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена <i>P</i>(<i>x</i>)<i>Q</i>(<i>x</i>) не меньше суммы квадратов свободных членов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>).
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>i</sub></i> такова, что НОД(<i>a<sub>i</sub>, a<sub>j</sub></i>) = НОД(<i>i, j</i>) для всех <i>i ≠ j</i>. Докажите, что <i>a<sub>i</sub> = i</i> для всех <i>i</i> ∈ <b>N</b>.
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого <i>k</i> = 1, 2, 3, ... сумма первых <i>k</i> членов последовательности делится на <i>k</i>?
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
На карусели с <i>n</i> сиденьями мальчик катался <i>n</i> сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких <i>n</i> за <i>n</i> сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех <i>n</i> – 1 переходов различны и меньше <i>n</i>?
Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i><sub>1</sub> > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ...,
что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif"> делится на <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>k</sub></i> при всех <i>k</i> ≥ 1.
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif"> неограничена.
Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?
Даны полуокружность с диаметром <i>AB</i> и центром <i>O</i> и прямая, пересекающая полуокружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, а прямую <i>AB</i> – в точке <i>M</i> (<i>MB < MA,
MD < MC</i>). Пусть <i>K</i> – отличная от <i>O</i> точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AOC</i> и <i>DOB</i>. Докажите, что угол <i>MKO</i> – прямой.
Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.