Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 8-10 класса - сложность 3 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>.

Найдите на сторонах <i>BC, CA, AB</i> такие точки <i>A', B', C'</i>, чтобы наибольшая сторона треугольника <i>A'B'C'</i> была минимальна.

Из вершины <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены касательные <i>CX</i>, <i>CY</i> к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.

Докажите, что прямые <i>XY, AB</i> и касательная в точке <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.

Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

На плоскости проведены  <i>n</i> > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое

  а) наименьшее;

  б) наибольшее

количество углов может быть среди этих частей?

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>. Прямые, симметричные <i>l</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>A₁</i>. Точки <i>B₁</i>, <i>C₁</i> определяются аналогично. Докажите, что

  а) прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке;

  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> ;

  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Дана окружность с центром <i>O</i> и радиусом 1. Из точки <i>A</i> к ней проведены касательные <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>M</i>, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники <i>OBMC</i> и <i>ABMC</i> имеют равные площади. Найдите <i>MA</i>.

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – основания высот. На прямых <i>OA</i>₁, <i>OB</i>₁, <i>OC</i>₁ нашли такие точки <i>A', B', C'</i> соответственно, что четырёхугольники <i>AOBC', BOCA', COAB'</i> вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AA</i>₁<i>A', BB</i>₁<i>B', CC</i>₁<i>C'</i&...

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64987/problem_64987_img_2.gif"> ,   где <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, <i>S</i> – его площадь.

Дано два тетраэдра <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A_iA_j</i> и <i>B_kB_l</i>, где  (<i>i, j, k, l</i>)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₃<i>B</i><sub>4&l...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.

В треугольнике <i>ABC</i> середины сторон <i>AC, BC</i>, вершина <i>C</i> и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.

Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины <i>A, B</i> и ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая <i>l</i> пересекает стороны угла в точках <i>A</i> и <i>F</i>, окружность ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, окружность Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i> (порядок точек на прямой – <i>A, B, C, D, E, F</i>). Пусть  <i>BC = DE</i>.  Докажите, что  <i>AB = EF</i>.

Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?

Восстановите равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  по точкам <i>I, M, H</i> пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 2∠<i>C</i>.  Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на серединном перпендикуляре к стороне <i>CB</i> таковы, что  ∠<i>CAP</i> = ∠<i>PAQ</i> = ∠<i>QAB</i> = &frac13; ∠<i>A</i>.

Докажите, что <i>Q</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CPB</i>.

Пользуясь только линейкой, разделите сторону квадратного стола на <i>n</i> равных частей. Линии можно проводить только на поверхности стола.

На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>A</i>₀<i>B</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₁ пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> параллельно прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>PA</i>₀<i>Q</i> лежит на высоте треугольника <i>ABC</i>.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.

Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Около треугольника <i>ABC</i> описали окружность. <i>A</i>₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной <i>BC</i> и проходящей через <i>A</i>. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ опустили перпендикуляры на <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.