Олимпиадные задачи по математике
Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>. Прямые, симметричные <i>l</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>A<sub>1</sub></i>. Точки <i>B<sub>1</sub></i>, <i>C<sub>1</sub></i> определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке;
б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> ;
в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AA</i><sub>0</sub> и <i>BB</i><sub>0</sub> – медианы, <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub> и <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> вторично пересекаются в точке <i>M<sub>c</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>M<sub>a</sub>, M<sub>b</sub></i>. Докажите, что точки <i>M<sub>a</sub>, M<sub>b</sub>, M<sub>c</sub></i> лежат на одной прямой, а прямые <i...