Олимпиадные задачи по математике
Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>; <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> – его высоты. Из точки <i>A</i><sub>1</sub> опустили перпендикуляры на прямые <i>AC</i> и <i>AB</i>, а из точки <i>B</i><sub>1</sub> опустили перпендикуляры на прямые <i>BC</i> и <i>BA</i>. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
На плоскости дана прямая. С помощью пятака постройте две точки какой-нибудь прямой, перпендикулярной данной. Разрешаются такие операции: отметить точку, приложить пятак к ней и обвести его; отметить две точки (на расстоянии меньше диаметра пятака), приложить пятак к ним и обвести его. Нет возможности прикладывать пятак к прямой так, чтобы она его касалась.
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ – биссектрисы. Докажите, что $\angle B'A'C'\leq 60^{\circ}$.
На окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$, отмечены точки $M$ и $N$ – середины дуг $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$.
Из вершины <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены касательные <i>CX</i>, <i>CY</i> к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые <i>XY, AB</i> и касательная в точке <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – основания высот. На прямых <i>OA</i><sub>1</sub>, <i>OB</i><sub>1</sub>, <i>OC</i><sub>1</sub> нашли такие точки <i>A', B', C'</i> соответственно, что четырёхугольники <i>AOBC', BOCA', COAB'</i> вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A', BB</i><sub>1</sub><i>B', CC</i><sub>1</sub><i>C'</i&...
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> отметили точку <i>D</i>. Пусть ω<sub>1</sub> и Ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> и Ω<sub>2</sub> – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся <i>AB</i> во внутренней точке) окружности треугольников <i>ACD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что общие внешние касательные к ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> пересекаются на прямой <i>AB</i>.