Задача
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. A0 – середина стороны BC. Прямые A0B1 и A0C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA0Q лежит на высоте треугольника ABC.
Решение
Решение 1: Так как треугольники BCB1 и BCC1 – прямоугольные, то их медианы B1A0, C1A0 равны половине гипотенузы, то есть B1A0 = A0C = A0B = C1A0.
∠PB1A = ∠CB1A0 = ∠B1CA0 = ∠PAC, и, значит, PA = PB1 (рис. слева). Аналогично QA = QC1. Следовательно, вписанная окружность треугольника A0PQ касается его сторон в точках A, B1, C1, откуда и следует утверждение задачи.
Решение 2: Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, O – середина AH. Тогда точки A0, B1, C1, O лежат на окружности девяти точек треугольника ABC (см. задачу 152511), причём A0O – диаметр этой окружности. С другой стороны, точки B1, C1 лежат на окружности с диаметром AH, которая, следовательно, и является вписанной окружностью треугольника APQ (рис. справа).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь