Назад
Задача 165041 • Сложность: 3 • 9-10 класс
Задача

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

Авторы:
Протасов В. Ю.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)
Количество версий:
2
Решение

Заметим, что точка лежит M на меньшей дуге BC (иначе OBMC либо находится внутри ABMC, либо вообще не является четырёхугольником). Тогда

SOBMC – SABMC = SOBC + 2SMBC – SABC.  Значит, геометрическим местом точек, для которых  SOMBC = SAMBC,  является серединный перпендикуляр к отрезку OA. Поэтому  AM = OM = 1.

Ответ

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет