Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>.

Найдите на сторонах <i>BC, CA, AB</i> такие точки <i>A', B', C'</i>, чтобы наибольшая сторона треугольника <i>A'B'C'</i> была минимальна.

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Из вершины <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены касательные <i>CX</i>, <i>CY</i> к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.

Докажите, что прямые <i>XY, AB</i> и касательная в точке <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.

Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

На плоскости проведены  <i>n</i> > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое

  а) наименьшее;

  б) наибольшее

количество углов может быть среди этих частей?

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – основания высот. На прямых <i>OA</i>₁, <i>OB</i>₁, <i>OC</i>₁ нашли такие точки <i>A', B', C'</i> соответственно, что четырёхугольники <i>AOBC', BOCA', COAB'</i> вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AA</i>₁<i>A', BB</i>₁<i>B', CC</i>₁<i>C'</i&...

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64987/problem_64987_img_2.gif"> ,   где <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, <i>S</i> – его площадь.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. В угол <i>ADC</i> вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>ACD</i>, а в угол <i>BDC</i> – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>BCD</i>. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка <i>CD</i> в одной и той же точке <i>X</i>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>X</i> на <i>AB</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дано два тетраэдра <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A_iA_j</i> и <i>B_kB_l</i>, где  (<i>i, j, k, l</i>)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₃<i>B</i><sub>4&l...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.

В треугольнике <i>ABC</i> середины сторон <i>AC, BC</i>, вершина <i>C</i> и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.

Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины <i>A, B</i> и ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.

Выпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник описанный?

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая <i>l</i> пересекает стороны угла в точках <i>A</i> и <i>F</i>, окружность ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, окружность Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i> (порядок точек на прямой – <i>A, B, C, D, E, F</i>). Пусть  <i>BC = DE</i>.  Докажите, что  <i>AB = EF</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AA</i>₀ и <i>BB</i>₀ – медианы, <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i>₀<i>B</i>₀ и <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ вторично пересекаются в точке <i>M_c</i>. Аналогично определяются точки <i>M_a, M_b</i>. Докажите, что точки <i>M_a, M_b, M_c</i> лежат на одной прямой, а прямые <i...

Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>I</i>, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>J</i>. Докажите, что <i>O</i> – середина отрезка <i>IJ</i>.

Восстановите равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  по точкам <i>I, M, H</i> пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 2∠<i>C</i>.  Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на серединном перпендикуляре к стороне <i>CB</i> таковы, что  ∠<i>CAP</i> = ∠<i>PAQ</i> = ∠<i>QAB</i> = &frac13; ∠<i>A</i>.

Докажите, что <i>Q</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CPB</i>.

Высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i>₁ – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i>₁<i>DM</i> и <i>A</i>₁<i>DN</i&g...