Пусть A, B, C, D – точки касания правильного тетраэдра с вписанной сферой. Повернув их на 120° относительно общего перпендикуляра к отрезкам AB и CD, получим точки A', B', C', D', а повернув на 240°, – точки A", B", C", D". Плоскости, касающиеся сферы в этих двенадцати точках, образуют три искомых тетраэдра.

  Действительно, для любых двух из этих точек существует движение, переводящее все множество из двенадцати точек в себя, а одну из выбранных точек в другую. Такими движениями можно перевести любую грань полученного многогранника в любую другую.

Могут.