Задача
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Решение
а) Пусть Pa, Pb, Pc – середины высот AHa, BHb, CHc. Очевидно, что точки A', B', C' лежат на сторонах треугольника PaPbPc и делят их в тех же отношениях, в каких точки A1, B1, C1 делят стороны треугольника ABC. Осталось воспользоваться теоремой Менелая. б) Если l проходит через центр O описанной окружности, то (как видно из вышеизложеного) l' проходит через точку O', в которую перейдёт O при аффинном преобразовании, переводящем треугольник ABC в треугольник PaPbPc. Поэтому достаточно проверить наше утверждение для каких-то двух прямых, проходящих через O. Например, для прямых, проходящих через какую-нибудь вершину треугольника.
Пусть C1 – точка пересечения CO и AB, X, Y – проекции C1 на AC и BC; A0, B0, C0 – середины BC, CA, AB, U, V – середины XY и A0B0, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к A0B0 с UPc (см. рис.). Так как XY || AB, точки V, U лежат на медиане СС0. Значит,
VQ : CPc = UV : UC = C1O : CC1, откуда VQ = ½ OC0 и Q – центр описанной окружности треугольника A0B0C0, то есть окружности девяти точек.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь