Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, B и C – в точке L, C и D – в точке M, D и A – в точке N (см. рис.). Точки K и M равноудалены от прямых AD и BC, поэтому прямая KM – биссектриса угла между этими прямыми. Обозначив этот угол через φ, по теореме о внешнем угле получаем, что

∠LKM = ½ ∠B – ^φ/₂ = ½ (π – ∠A) = ½ ∠C  и, значит,  ∠LIM = ∠C.  С другой стороны, перпендикуляры, опущенные из точки L на BC и из точки M на CD, образуют с ML углы, равные  ½ (π – ∠C),  то есть треугольник, образованный этими перпендикулярами и ML, – равнобедренный с углом при вершине, равным углу C. Поэтому вершина этого треугольника совпадает с I. Таким образом, перпендикуляры, опущенные из вершин четырёхугольника KLMN на соответствующие стороны ABCD, проходят через I. Аналогично получаем, что перпендикуляры из вершин четырёхугольника, образованного внешними биссектрисами, проходят через J.

  Пусть теперьK'– точка пересечения биссектрис внешних угловAиB. Так как четырёхугольникAKBK'вписан в окружность с диаметромKK', то проекцииKиK'наABсимметричны относительно серединыAB. Отсюда и из доказанного выше следует, что проекцииIиJна каждую из сторонABCDсимметричны относительно середины этой стороны, что равносильно утверждению задачи.

Ответ задачи отсутствует