Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» - сложность 4 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадШестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>, <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>, <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.
Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.
Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> – середины отрезков <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...
Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить <i>k</i> точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее <i>k</i>, достаточное для любого исходного многоугольника.
В треугольнике <i>ABC AL<sub>a</sub></i> и <i>AM<sub>a</sub></i> – внутренняя и внешняя биссектрисы угла <i>A</i>. Пусть ω<i><sub>a</sub></i> – окружность, симметричная описанной окружности Ω<i><sub>a</sub></i> треугольника <i>AL<sub>a</sub>M<sub>a</sub></i> относительно середины <i>BC</i>. Окружность ω<i><sub>b</sub></i> определена аналогично. Докажите, что ω<i><sub>a</sub></i> и ω<i><sub>b</sub></i> касаются тогда и только тогда, когда треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
В треугольнике <i>ABC</i> отметили точки <i>A'</i>, <i>B'</i> касания сторон <i>BC, AC</i> c вписанной окружностью и точку <i>G</i> пересечения отрезков <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.