Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 11 класса

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.

Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Окружность с центром <i>F</i> и парабола с фокусом <i>F</i> пересекаются в двух точках.

Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки <i>A, B, C, D</i>, что прямые <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> касаются параболы.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что  ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC</i>.

Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Пусть <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ – середины отрезков <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...

На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i>₁<i>D</i> и <i>O</i>₂<i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.

Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC  AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Прямые <i>AA</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i>₁<i>KC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>KB</i>₁, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что

  а) сумма диаметров этих окружностей равна...

Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.

Каковы возможные значения <i>n</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что

<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Каждый из двух правильных многогранников <i>P</i> и <i>Q</i> разрезали плоскостью на две части. Одну из частей <i>P</i> и одну из частей <i>Q</i> приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что ортоцентры треугольников <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> совпадают. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – правильный?

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i>₂, <i>B</i>₂ соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i>₁<i>BH</i>₂. Докажите, что  <i>OB</i>₁ = <i>OB</i...

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Два выпуклых многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B_n</i>  (<i>n</i> ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.

Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω₁, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω₂.

Докажите, что  cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.

Пусть <i>O, I</i> – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; <i>R, r</i> – радиусы этих окружностей; <i>J</i> – точка, симметричная вершине прямого угла относительно <i>I</i>. Найдите <i>OJ</i>.