Задача
Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.
Решение
Возьмём произвольную точку окружности A, лежащую вне параболы. Прямая AF и прямая, проходящая через A и параллельная оси l параболы, вторично пересекают окружность в точках, симметричных относительно оси l. Пусть касательные AM и AN к параболе пересекают окружность в точках B и D, а M1 и N1 – проекции точек M и N на директрису параболы. Тогда AM и AN – серединные перпендикуляры к FM1 и FN1, то есть A – центр описанной окружности треугольника FM1N1. Значит, ∠KAB = ∠FAM = ∠FN1M1 = ∠N1NA = ∠DAL. Поэтому дуги BK и DL равны, то есть точки B и D также симметричны относительно l.
Аналогично получаем, что вторые касательные из B и D вторично пересекают окружность в точке C, симметричной A. Следовательно, A, B, C, D – искомые точки.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь