Пусть L_b, L_c – проекции точек I_b, I_c на BC, а r_b, r_c – радиусы вписанных окружностей треугольников AHB, AHC (см. рис.). Так как эти треугольники прямоугольные, то  r_b = ½ (AH + BH – AB),  r_c = ½ (AH + CH – AC),  r_b – r_c = ½ (BH – CH) – ½(AB – AC) = (BH – CH) – ½(BL – CL) = LH.  Следовательно,  I_bL_b = r_b = LL_c,  I_cL_c = r_c = LL_b, то есть треугольники LI_bL_b и I_cL_cL равны,  LI_b = LI_c  и  ∠I_bLI_c = 90°.  Таким образом, треугольник LI_bI_c – равнобедренный прямоугольный.

45°