Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» - сложность 1-3 с решениями

Выпуклые многогранники <i>A</i> и <i>B</i> не имеют общих точек. Многогранник <i>A</i> имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из <i>A</i> и <i>B</i>, если <i>B</i> имеет

  а) 2012,

  б) 2013 плоскостей симметрии?

  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>C</i>₁. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ на лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> таковы, что  ∠<i>AC</i>₁<i>B</i>₁ = ∠<i>BC</i>₁<i>A</i>₁ = ∠<i>ACB</i>.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>C</i>₂. Докажите, что все прямые <i>C</i>₁<i>C</i>₂ п...

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ так, что  <i>C</i>₁<i>A</i>₁ ⊥ <i>BC</i>,  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ ⊥ <i>CA</i>,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>AB</i>,  <i>B</i>₂<i>A</i>₂ ⊥ <i>BC</i>,  &...

Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°).  Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.

Пусть <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно, а <i>A'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол <i>B</i>, с продолжениями сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> лежит на <i>A</i>₁<i>C</i>₁ тогда и только тогда, когда прямые <i>A'C</i>₁ и <i>BA</i> перпендикулярны.

На каждой стороне треугольника <i>ABC</i> отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.   а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.  б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

а) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что  <i>r</i>₄ > 2<i>r</i>₃? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в...

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>B</i>₁; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₂, <i>A</i>₂. Докажите, что прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₂<i>C</i>₂ и <i>CC&#...

Пусть <i>T</i>₁, <i>T</i>₂ – точки касания вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины <i>AB</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>CT</i>₁<i>T</i>₂. Найдите угол <i>BCA</i>.

Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I_a, I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I_aI_c</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>DBQ</i> = 90°.

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.

Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>O</i> – центр его описанной окружности, а точка <i>K</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>BCO</i>. Высота треугольника <i>ABC</i>, проведенная из точки <i>A</i>, пересекает окружность ω в точке <i>P</i>. Прямая <i>PK</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что один из отрезков <i>EP</i> и <i>FP</i> равен отрезку <i>PA</i>.

Вневписанная окружность, соответствующая вершине <i>A</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается продолжений сторон <i>AB, AC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ соответственно; аналогично определим точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B, C</i> на прямые <i>C</i>₁<i>C</i>₂, <i>A</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ со...

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AC = BC</i>)  угол при вершине <i>C</i> равен 20°. Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>OB</i>₁ (где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) является равносторонним.

В треугольнике <i>ABC  AB = BC</i>. Из точки <i>E</i> на стороне <i>AB</i> опущен перпендикуляр <i>ED</i> на <i>BC</i>. Оказалось, что  <i>AE = ED</i>.  Найдите угол <i>DAC</i>.

Даны две окружности, одна из которых лежит внутри другой. Из произвольной точки <i>C</i> внешней окружности проведены касательные к внутренней, вторично пересекающие внешнюю в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников <i>ABC</i>.

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>H</i>. Из точки <i>H</i> провели перпендикуляры к прямым <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>C</i>₁, которые пересекли лучи <i>CA</i> и <i>CB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки <i>C</i> на прямую <i>A</i>₁<i>B</i>₁, проходи...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром в точке <i>O</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины не содержащих других вершин дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямые, проходящие через точки <i>E</i> и <i>F</i> параллельно диагоналям четырёхугольника <i>ABCD</i>, пересекаются в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая <i>KL</i> содержит точку <i>O</i>.

Пусть <i>X</i> – такая точка внутри треугольника <i>ABC</i>, что  <i>XA·BC = XB·AC = XC·AB</i>;  <i>I</i>₁, <i>I</i>₂, <i>I</i>₃ – центры вписанных окружностей треугольников <i>XBC, XCA</i> и <i>XAB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AI</i>₁, <i>BI</i>₂ и <i>CI</i>₃ пересекаются в одной точке.

В описанном четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AB = CD ≠ BC</i>.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке <i>L</i>. Докажите, что угол <i>ALB</i> острый.

Окружность <i>k</i> проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB > AC</i>)  и пересекает продолжения сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> за точки <i>B</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Пусть <i>AA</i>₁ – высота треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>P = A</i>₁<i>Q</i>.  Докажите, что угол <i>PA</i>₁<i>Q</i> в два раза больше угла <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>.

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.

Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?