Олимпиадные задачи из «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 7-8 класса

Задача 164467 • Сложность: 3 • 8-11 класс

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис. а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы. б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Задача 164466 • Сложность: 2 • 8-10 класс

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что r4 > 2r3? б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в...

Кожевников П. А. Планиметрия

Задача 164465 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C1, B1; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C2, A2. Докажите, что прямые B1C1, A2C2 и CC&#...

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164464 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть T1, T2 – точки касания вневписанных окружностей треугольника ABC со сторонами BC и AC соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины AB, лежит на описанной окружности треугольника CT1T2. Найдите угол BCA.

Плотников М. Планиметрия

Задача 164463 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.

Плотников М. Планиметрия Алгебраические методы

Задача 164462 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки Ia, Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая IaIc пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что ∠DBQ = 90°.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164461 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Диагонали AC, BD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников ABP, CDP пересекают прямую AD в точках X, Y. Точка M – середина XY. Докажите, что BM = CM.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164459 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.

Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 164458 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.

Ивлев Ф. Планиметрия

Задача 164457 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Вневписанная окружность, соответствующая вершине A прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), касается продолжений сторон AB, AC в точках A1, A2 соответственно; аналогично определим точки C1, C2. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые C1C2, A1C1, A1A2 со...

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164456 • Сложность: 2 • 8-9 класс

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

Штейнгарц Л. Планиметрия

Задача 164455 • Сложность: 2 • 7-9 класс

В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 164400 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.

Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Протасов В. Ю. Текстовые задачи Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164399 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Карлюченко А. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164398 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой I<sub&g...

Швецов Д. В. Зайцева Ю. Соколов А. Планиметрия

Задача 164397 • Сложность: 3 • 8-10 класс

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что BK : CK = FS : ES.

Ясинский В. Планиметрия

Задача 164396 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

Белухов Н. Планиметрия

Задача 164395 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.

Докажите, что SAOB + SCOD ≤ 2(SAOD + SBOC).

Богданов И. И. Планиметрия

Задача 164394 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω1 и ω2 по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.

Нилов Ф. Планиметрия

Задача 164393 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E1; продолжения сторон BC и DE – в точке A1. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE1C, пересекает ω в точке B1; аналогично определяется точка D1. Докажите, что B1D1 || AE.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164392 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке Pa; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке Pc. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PPaPc лежат на одной прямой.

Дмитриев И. Планиметрия

Задача 164391 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.

Френкин Б. Р. Планиметрия Алгебраические методы

Задача 164390 • Сложность: 2 • 8-9 класс

На отрезке AB построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка AB в точке T и пересекает α в точках C и D. Лучи AC и TD пересекаются в точке E, лучи BD и TC – в точке F. Докажите, что прямые EF и AB параллельны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64390/problem_64390_img_2.png"></div>

Нилов Ф. Планиметрия

Задача 164389 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Высота AA', медиана BB' и биссектриса CC' треугольника ABC пересекаются в точке K. Известно, что A'K = B'K. Докажите, что и отрезок C'K имеет ту же длину.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 164388 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. В треугольнике ABL отметили точку пересечения высот H, а в треугольниках BCL, CDL и DAL – центры O1, O2 и O3 описанных окружностей. Затем весь рисунок, кроме точек H, O1, O2, O3, стерли. Восстановите его.

Заславский А. А. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 7-8 класса

Категории

IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 7-8 класса

Категории

IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления