Назад
Задача 164389 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Высота AA', медиана BB' и биссектриса CC' треугольника ABC пересекаются в точке K. Известно, что  A'K = B'K. Докажите, что и отрезок C'K имеет ту же длину.

Авторы:
Френкин Б. Р.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)
Количество версий:
3
Решение

  Так как точка K лежит на биссектрисе угла C, расстояние от нее до прямой AC равно расстоянию до BC, то есть KA' (см. рис.).

  Поскольку  KA' = KB',  то  KB'⊥AC. Значит, медианаBB'является также высотой и  AB = BC.  ТогдаBKиCK– биссектрисы треугольника, следовательно,AK– тоже биссектриса, а посколькуAK– высота, то  AB = AC.  Таким образом, треугольникABC– равносторонний, и  A'K = B'K = C'K.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет