Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111574/problem_111574_img_2.gif"></div>

Клетчатая прямоугольная сетка <i>m</i>×<i>n</i> связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Произведение положительных чисел <i>х, у</i> и <i>z</i> равно 1. Докажите, что  (2 + <i>х</i>)(2 + <i>у</i>)(2 + <i>z</i>) ≥ 27.

Точки <i>А</i>₁ и <i>А</i>₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки <i>А</i>₂ и <i>А</i>₄ – по другую сторону. Пусть <i>В</i>₁, <i>В</i>₂, <i>В</i>₃ и <i>В</i>₄ – точки пересечения отрезков <i>А</i>₁А₂, <i>А</i>₂<i>А</i>₃, <i>А</i>₃<i>А</i>₄ и <i>А</i>₄<i>А</i>&l...

Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.