Олимпиадные задачи из источника «2008 год» для 10 класса

В каждой клетке шахматной доски сидят по два таракана. В некоторый момент времени каждый таракан переползает на соседнюю (по стороне) клетку, причём тараканы, сидевшие в одной клетке, переползают в разные клетки. Какое наибольшее количество клеток доски может после этого остаться свободным?

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> D </i>– середина стороны<i> AB </i>. Можно ли так расположить точки<i> E </i>и<i> F </i>на сторонах<i> AC </i>и<i> BC </i>соответственно, чтобы площадь треугольника<i> DEF </i>оказалась больше суммы площадей треугольников<i> AED </i>и<i> BFD </i>?

Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x²</i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>²<img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Клетчатая прямоугольная сетка <i>m</i>×<i>n</i> связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Произведение положительных чисел <i>х, у</i> и <i>z</i> равно 1. Докажите, что  (2 + <i>х</i>)(2 + <i>у</i>)(2 + <i>z</i>) ≥ 27.

Точки <i>А</i>₁ и <i>А</i>₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки <i>А</i>₂ и <i>А</i>₄ – по другую сторону. Пусть <i>В</i>₁, <i>В</i>₂, <i>В</i>₃ и <i>В</i>₄ – точки пересечения отрезков <i>А</i>₁А₂, <i>А</i>₂<i>А</i>₃, <i>А</i>₃<i>А</i>₄ и <i>А</i>₄<i>А</i>&l...

Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.