Олимпиадные задачи из источника «7 класс»

Можно ли в кружочки на пятиконечной звезде (см. рисунок) расставить4единицы,3двойки и3тройки так, чтобы суммы четырех чисел, стоящих на каждой из пяти прямых, были равны?

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111243/problem_111243_img_2.gif"> </i></center>

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что  <i>AD = DE = EC</i>. Может ли оказаться, что  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBE</i> = ∠<i>EBC</i>?

Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?

По данным опроса, проведенного в 7 "Е" классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% учеников, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 7 "Е", если известно, что их больше 20, но меньше 30?

Существуют ли натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i>, для которых верно равенство:  (–2<i>aⁿbⁿ</i>)<i>^m</i> + (3<i>a^mb^m</i>)<i>ⁿ = a</i>⁶<i>b</i>⁶ ?