Олимпиадные задачи из источника «2008 год» для 7 класса

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма растояний от синего столба до белых равна 2008 км.

В таблицу 4×4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?

Пройдя ⁴/₉ длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.

Шестнадцать футбольных команд из шестнадцати стран провели турнир – каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу.

Могло ли оказаться так, что каждая команда сыграла во всех странах, кроме своей родины?

В 8 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25%. Какой процент двоечников в 8 "Г" сейчас?

Про числа<i> a </i>и<i> b </i>известно, что<i> a=b+</i>1. Может ли оказаться так, что<i> a⁴=b⁴ </i>?

Можно ли в кружочки на пятиконечной звезде (см. рисунок) расставить4единицы,3двойки и3тройки так, чтобы суммы четырех чисел, стоящих на каждой из пяти прямых, были равны?

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111243/problem_111243_img_2.gif"> </i></center>

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что  <i>AD = DE = EC</i>. Может ли оказаться, что  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBE</i> = ∠<i>EBC</i>?

Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?

По данным опроса, проведенного в 7 "Е" классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% учеников, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 7 "Е", если известно, что их больше 20, но меньше 30?

Существуют ли натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i>, для которых верно равенство:  (–2<i>aⁿbⁿ</i>)<i>^m</i> + (3<i>a^mb^m</i>)<i>ⁿ = a</i>⁶<i>b</i>⁶ ?

Треть роты осталась в лагере, а остальные бойцы уехали на стрельбы. Оставшиеся в лагере съели за обедом четверть приготовленной похлёбки, а вернувшиеся вечером со стрельб получили порции в полтора раза большие, чем давали за обедом. Сколько похлебки осталось для ротной собаки Найды?

В понедельник в полдень (12:00) часы показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час.

В какой день и час эти часы впервые покажут время, на час большее, чем на самом деле?

В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Рыцари носят с собой шпагу, а лжецы– нет. Собрались вместе два рыцаря и два лжеца и посмотрели друг на друга. Кто из них мог сказать фразу:

1. "Cреди нас все рыцари".

2. "Среди вас есть ровно один рыцарь".

3. "Среди вас есть ровно два рыцаря" ?

Для каждой фразы укажите всех, кто мог ее сказать, и объясните.

Маша посмотрела на рисунок и сказала: "Здесь нарисовано семь прямоугольников: один большой и шесть маленьких". "Здесь есть еще различные средние прямоугольники" – сказала мама. Сколько же всего прямоугольников на этом рисунке? Ответ объясните. <img src="/storage/problem-media/111235/problem_111235_img_2.gif">

Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число78887– зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры1и0.

Каждый из четырех инопланетян умеет писать только две буквы. Кра умеет писать<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_2.gif"> </i>и<i> Δ </i>; Кре – буквы<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_2.gif"> </i>; Кру – буквы<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_4.gif"> </i>, Крю – буквы<i> Δ </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_4.gif"> </i>. Они оставили...

Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

Помогите Незнайке восстановить пример на деление двух чисел, если известно, что частное в пять раз меньше делимого и в семь раз больше делителя.

Разрежьте одну из фигур, приведенных на рисунке, на две части так, чтобы из них можно было сложить каждую из оставшихся. Нарисуйте, как вы разрезаете и как складываете.

<i> <img src="/storage/problem-media/111230/problem_111230_img_2.gif"> </i>

<i> <img src="/storage/problem-media/111230/problem_111230_img_3.gif"> </i>

<i> <img src="/storage/problem-media/111230/problem_111230_img_4.gif"> </i>

Тане было16лет19месяцев назад, а Мише будет19лет через16месяцев. Кто из них старше? Ответ объясните.