Олимпиадная задача по математике: экстремумы непрерывной функции, 10–11 класс
Задача
Непрерывная функция f(x)такова, что для всех действительных x выполняется неравенство: f(x2)-(f(x))2
. Верно ли, что функция f(x)обязательно имеет точки экстремума?
Решение
При x = 0получим, что f(0)-(f(0))2
(f(0))2-f(0)+
0 (f(0)-
)2 0
f(0)= . Аналогично, при x = 1: f(1)-(f(1))2 f(1)= .
Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах[0; 1], то внутри этого отрезка есть хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Отметим, что если 
x
[0; 1] f(x) =, то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ
да, верно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет