Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 9 класса
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>B</i> на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок <i>PQ</i> параллелен стороне <i>AC</i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = BC</i>, ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i> = 20°, ∠<i>C</i> = 30°. Продолжение стороны <i>AD</i> пересекает <i>BC</i> в точке <i>M</i>, а продолжение стороны <i>CD</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Найдите угол <i>AMN</i>.
Найдите все такие функции <i>f</i>(<i>x</i>), что <i>f</i>(2<i>x</i> + 1) = 4<i>x</i>² + 14<i>x</i> + 7.
Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?
Решите систему уравнений:
<i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,
cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Найдите все простые числа <i>р</i>, для каждого из которых существует такое натуральное число <i>m</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104099/problem_104099_img_2.jpg"> – также натуральное число.
Дан равносторонний треугольник <i>АВС</i>. Точка <i>К</i> – середина стороны <i>АВ</i>, точка <i>М</i> лежит на стороне <i>ВС</i>, причём <i>ВМ</i> : <i>МС</i> = 1 : 3. На стороне <i>АС</i> выбрана точка <i>P</i> так, что периметр треугольника <i>РКМ</i> – наименьший из возможных. В каком отношении точка <i>Р</i> делит сторону <i>АС</i>?
Даны квадратные трёхчлены <i>f</i> и <i>g</i> с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов
равна <i>р</i>. Найдите сумму корней трёхчлена <i>f + g</i>, если известно, что он имеет два корня.
Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.
Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104095/problem_104095_img_2.jpg"></div>
Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.
Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите <i>x</i>(<i>t</i>) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.
20 шахматистов сыграли турнир в один круг. Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
Сравните без помощи калькулятора числа: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.
Один из углов треугольника на 120° больше другого.
Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.
Решите уравнение:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104090/problem_104090_img_2.jpg"></div>
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?
Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
Решите уравнение: |<i>x</i>- 2005| + |2005 -<i>x</i>| = 2006.
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане – 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.