Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>B</i> на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок <i>PQ</i> параллелен стороне <i>AC</i>.

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?

Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.

Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

На вопрос о возрасте его детей математик ответил:

– У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет.

Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?

Решите уравнение: |<i>x</i>- 2005| + |2005 -<i>x</i>| = 2006.

Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.

Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.