Олимпиадная задача: Простые числа и многочлены для 8-10 классов по теории чисел
Задача
Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что 
– также натуральное число.
Решение
Пусть p нечётно, то есть р = 2n + 1, где n – натуральное число. Тогда условие задачи выполняется для m = n2.
Осталось рассмотреть случай p = 2. Пусть 
– натуральное число. Тогда число 
а значит, и 
– целое. Но (2m + 1)² < 4(m² + 2m) < (2m + 2)², то есть 
Противоречие.
Ответ
р – любое нечётное простое число.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет