Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

В кубе <i>АВСDА</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>₁<i>D</i>₁ площадь ортогональной проекции грани <i>АА</i>₁<i>В</i>₁<i>В</i> на плоскость, перпендикулярную диагонали <i>АС</i>₁, равна 1.

Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Найдите все простые числа <i>р</i>, для каждого из которых существует такое натуральное число <i>m</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104099/problem_104099_img_2.jpg">  – также натуральное число.

Дан равносторонний треугольник <i>АВС</i>. Точка <i>К</i> – середина стороны <i>АВ</i>, точка <i>М</i> лежит на стороне <i>ВС</i>, причём  <i>ВМ</i> : <i>МС</i> = 1 : 3.  На стороне <i>АС</i> выбрана точка <i>P</i> так, что периметр треугольника <i>РКМ</i> – наименьший из возможных. В каком отношении точка <i>Р</i> делит сторону <i>АС</i>?

Даны квадратные трёхчлены  <i>f</i> и <i>g</i> с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов

равна <i>р</i>. Найдите сумму корней трёхчлена  <i>f + g</i>, если известно, что он имеет два корня.

Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.

Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?