Олимпиадная задача по планиметрии: углы и равные хорды в окружности (8-10 класс)

Докажем вспомогательное утверждение: через точку внутри окружности, отличную от центра, можно провести не более двух хорд равной длины. "Алгебраическое доказательство".Пусть через точку Z проходят три хорды длины a. Для каждой из них произведение отрезков, на которые их делит точка Z, постоянно и равно, допустим, m. Расмотрим одну из хорд. Пусть точка Z делит эту хорду на отрезки длины x₁и x₂. Тогда x₁+ x₂= a, x₁* x₂= m, следовательно, числа x₁и x₂— корни уравнения x²- ax + m = 0. Корнями того же уравнения будут длины отрезков, на которые точка Z разбивает остальные две хорды. Но у этого уравнения только два корня, а это означает, что каждая из хорд точкой Z разбивается в точности на отрезки длиной x₁и x₂. Это значит, что окружность с центром Z радиуса x₁имеет с данной окружностью по крайней мере три общие точки. Тогда она обязана с ней совпадать, но Z — не центр исходной окружности. Противоречие. "Геометрическое доказательство".Равные хорды одной окружности опираются на равные дуги, поэтому они переводятся друг в друга поворотом вокруг центра O этой окружности. Следовательно, эти хорды равноудалены от точки O, поэтому касаются некоторой окружности с центром О. Из данной точки к данной окружности можно провести не более двух касательных.

Теперь обратимся к нашей задаче (см. рисунок). Рассмотрим симметрию относительно прямой OM. При этой симметрии окружность перейдёт сама в себя, а хорда AB — в некоторую хорду той же длины, проходящую через точку M. Этой хордой, в силу доказанного утверждения, является хорда QP. Из симметрии следует равенство углов:OMA =OMQ = a. Аналогично, рассматривая симметрию относительно OK, получим, чтоOKP =OKD = b. ТогдаKOM = 180° - a - b иKLB =LMK +LKM = 180° - 2a + 180° - 2b = 360° - 2(a + b) = 2KOM, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует