Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» для 2-8 класса
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
На стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>, где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что <i>MD = MC</i>.
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана такая точка <i>D</i>, что <i>BD = BC</i>, а на катете <i>BC</i> – такая точка <i>E</i>, что <i>DE = BE</i>.
Докажите, что <i>AD + CE = DE</i>.
На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций: <i>y = ax + b, y = bx + c</i> и <i>y = cx + a</i>. После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>
На сторонах угла <i>ABC</i> отмечены точки <i>М</i> и <i>K</i> так, что углы <i>BMC</i> и <i>BKA</i> равны, <i>BM = BK, AB</i> = 15, <i>BK</i> = 8, <i>CM</i> = 9.
Найдите периметр треугольника <i>СOK</i>, где <i>O</i> – точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>СМ</i>.
Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.
Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.
Банк "Империал" при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?
Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> биссектрисы <i>АЕ</i> и <i>СF</i> углов <i>A</i> и <i>C</i> параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы <i>B</i> и <i>D</i> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65213/problem_65213_img_2.gif"></div>
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Три числа <i>x, y</i> и <i>z</i> отличны от нуля и таковы, что <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>yz</i> и <i>y</i>² – <i>z</i>² = <i>xz</i>. Докажите, что <i>x</i>² – <i>z</i>² = <i>xy</i>.
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>BF</i> = 2<i>CF, CE</i> = 2<i>AE</i> и угол <i>DEF</i> – прямой.
Докажите, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADF</i>.
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?
Бумажный прямоугольный треугольник <i>АВС</i> перегнули по прямой так, что вершина <i>С</i> прямого угла совместилась с вершиной <i>В</i> и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
По окончании шахматного турнира Незнайка сказал: "Я набрал на 3,5 очка больше, чем потерял". Могут ли его слова быть правдой?
(Победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0.)
В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> проведена высота <i>СН</i> из вершины прямого угла. Из вершины <i>В</i> большего острого угла проведён отрезок <i>BK</i> так, что ∠<i>CBK</i> = ∠<i>CАB</i> (см. рис.). Докажите, что <i>СН</i> делит <i>BK</i> пополам. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64991/problem_64991_img_2.gif"></div>
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?