Задача
Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?
Решение
Приведём три контрпримера.
1. Рассмотрим число 10! = 3628800. Оно делится на 10, поэтому если изменить любую цифру, кроме последней, то делимость на 10 сохранится. Если последнюю цифру заменить на любую из цифр от 2 до 9, то полученное число 10! + k. будет делиться на k. А если последнюю цифру заменить на 1, то получится число 3628801, кратное 11.
2. Рассмотрим число (10!)3. Изменение любой цифры, кроме последней, а также замена последней цифры на любую цифру от 2 до 9 не дает простого числа по соображениям, изложенным выше. А если последнюю цифру заменить на 1, то получится число
(10!)³ + 1 = (10! + 1)((10!)² – 10! + 1).
3. Рассмотрим число 19! + 10. Бесполезность изменения любой его цифры, кроме последней, объяснена выше, а замена последней цифры на 1, 2, ..., 9 приведёт к тому, что полученные числа будут делиться на 11, 12, ..., 19 соответственно.
Ответ
Неверно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь