Задача
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
Решение
На следующем этапе после стирания единицы будут стёрты все простые числа (у них нет делителей, кроме 1 и самого числа). Далее будут стёрты числа, в разложение которых входит ровно два простых множителя (необязательно различных), затем стёрты числа, в разложение которых входит ровно три простых множителя, и так далее. Так как 27 > 100, то среди заданных нет чисел, в разложение которых входит больше шести простых множителей. Следовательно, на последнем шаге будут стёрты числа, в разложение которых входит ровно шесть простых множителей. Так как
32·24 > 100, то таких чисел всего два: 26 = 64 и 3·25 = 96.
Ответ
64 и 96.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь